Вызывает антирес вот какой еще разрез с Парето-оптимальностью

[pargentum]

В терминах Парето-оптимальности, необходимость государственного вмешательства обычно обосновывается так:

Да, добровольная сделка всегда парето-оптимальна, а недобровольная - нет.  Но если мы будем использовать только добровольные сделки, это получится то, что называется градиентной оптимизацией: как известно, она всегда съезжает в локальный минимум и там остается, а недобровольными средствами можно ее из этого минимума выгнать.  Поэтому государственное вмешательство может вести к парето-оптимизации.

Людям, которые так говорят, надо поставить двойку по матанализу.  Потом надо найти того, кто учил их матанализу, и показательно выпороть.

Фокус вот какой: отношение, оптимизируемое по Парето, вообще говоря, не является функцией.  Оно определяется через свой градиент, через предпочтительность отдельных переходов.  Но кто вам сказал, что этот градиент - это частные производные функции?  Это, вообще говоря, произвольное векторное поле над многомерным пространством.  Интегрируя его по разным траекториям, пусть даже приходящим в одну точку, мы, как правило, будем получать разные значения.  Поэтому никакой оптимизации, кроме градиентной, и никаких минимумов, кроме локальных, в правильной постановке задачи Парето не бывает.

Comments

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Отношение определяется не через градиент, а через предпочтения людей между разными (удаленными друг от друга) состояниями.

[pargentum.livejournal.com]

Кстати, да. Все еще хуже - на пространстве состояний нет непрерывной метрики, нельзя сказать, что вот эти состояния удалены от друга меньше, а эти больше. То есть интегралов тоже нет, есть только суммы по траекториям.

[a-shkolnikov.livejournal.com]

Надо учесть, что добровольные сделки - это не только пресловутый обмен мат. товарами, но и добровольные соглашения о взаимной подчиненности, обязанности и т.п. что разумно компенсирует часть того, что навязывается государством.

[vinopivets.livejournal.com]

Интегрировать-то по всякому можно, не по Лебегу, так по кому-нибудь еще, только ни к чему это. Оно же все комбинаторное, а не стохастическое.

[pargentum.livejournal.com]

Собственно, тема с интегрированием тут вот откуда возникла: единственный способ перейти от векторного поля, "градиента" к функции, для которой можно говорить о глобальных и локальных минимумах - это проинтегрировать ее, правильно?

Вот электростатическое поле можно проинтегрировать и получить функцию, потенциал, у которого есть минимумы и максимумы, и частные производные которого дают нам исходное поле. А, скажем, магнитное поле или индуктивное электродинамическое поле - у него нету потенциала, более того, по некоторым замкнутым контурам его интеграл дает ненулевое значение. То есть интегрировать можно, более того, когда заряженная частица летит в этом поле, она его фактически интегрирует, она получает энергию, пропорциональную интегралу поля вдоль своей траектории. Но в результате такого интегрирования получить какое-то число, "потенциал", которое можно назначить каждой точке пространства, невозможно. В зависимости от того, каким путем мы пришли в эту точку, "потенциал" будет разным.

Собственно, я попытался рассмотреть гипотезу, что все критикуемое построение с парето-оптимизацией и глобальными и локальными минимумами представляет себе изменения утилити как движение по потенциалу - тогда можно говорить про локальные и глобальные минимумы. В то время как это движение в векторном поле общего вида.

[vinopivets.livejournal.com]

В рамках предложенной аналогии - полностью согласен. Нет там потенциального поля. Я еще думаю, там и непрерывного движения нет.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Да нету там никакого векторного поля. Есть множество состояний общества, у человека есть набор предпочтений (бинарное отношение на этом обществе, можно предположить, что оно является частичным порядком). Пересечение отношений предпочтения всех членов общества даст частичный порядок Парето. Парето-оптимальное состояние это точка максимума этого частичного порядка. Чтобы определить понятие локального максимума, нужно как-то ввести на множестве состояний топологию (или что-то подобное). Как это сделать строго формально мне не очень ясно, интуитивно если из состояния A возможен переход в состояние B результате действий любого числа людей, состояния A и B должны быть близкими.

[pargentum.livejournal.com]

>Чтобы определить понятие локального максимума, нужно как-то ввести на множестве состояний топологию (или что-то подобное).

Да. Но пример с электродинамическим полем показывает, что одно только введение топологии нам, скорее всего, не поможет - топология налицо, но "потенциала", для которого можно говорить о максимумах и минимумах, все равно не получается.

В то же время разговор о локальных и глобальных максимумах и минимумах предполагает наличие и того, и другого.

[pargentum.livejournal.com]

Кстати, топологию там как раз какую-никакую ввести можно - расстояние соответствует минимальному количеству обменов, которые требуются для перехода из одного состояния в другое.

Это очень плохая топология с точки зрения матанализа, но это топология. И из нее кстати, сразу же очевидно, что она совершенно не проецируется на одномерный матанализ: из того, что А дальше от 0, чем B, никоим образом не следует, что идя из 0 в A, мы обязаны будем пройти через B. Поэтому "векторное поле", а не одномерная оптимизация.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Понятие максимума определяются отношением порядка, никакой функции для этого не надо. Оптимальная точка это такая точка, которая не меньше любой другой.

[pargentum.livejournal.com]

В электродинамическом поле такой точки может и не быть.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Что вам так далось это поле? Других моделей представить не можете?

[pargentum.livejournal.com]

Могу. Просто хорошая модель, которая знакома всем с более-менее естественнонаучным образованием, и которая показывает, что если у нас есть только отношение хуже-лучше, то положение "минимума" и даже значение "функции" в этой точке, вообще говоря, зависит от траектории, по которой мы в минимум приходим.
Чтобы оно не зависело, наше отношение должно удовлетворять весьма нетривиальным теоремам, которые для утилити не выполняются и даже правильно не формулируются (что такое ротор в недекартовой топологии?).
Собственно, даже неоклассическая экономика знает эту проблему под названием path dependency.

Мой пойт в том, что в такой ситуации можно говорить о минимумах, но нельзя говорить о глобальном минимуме.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Да модель совсем не такая. Предполагается, что каждый человек имеет предпочтение между двумя (удаленными друг от друга) точками.

[pargentum.livejournal.com]

Какая-то совсем нереалистичная модель.

Я вот предпочитаю свое текущее состояние состоянию, в котором у меня будет десять тонн золота и суперспособность летать в небе без летательных аппаратов, просто силой воли. Какое это может иметь практическое значение, если я не имею представления, как из текущего состояния попасть в желаемое?